Matematika

 BAB 1

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR 

 

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Masih ingat bentuk berikut :
3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
aⁿ x aⁿ = a^{m + n}
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³
Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3}
Sifat 3
(a^m)ⁿ = a^{m x n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 3^{4 x 2}
Sifat 4
(a x b)^m = a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³
Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n = ¹/_2ⁿ , secara umum dapat ditulis :

Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
 (¹/₂)⁵
Jawab :

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^m dapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.
contoh :
jawab :

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

jawab :

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

• Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
• Jika tidak ada tanda kurungnya maka

1. pangkat dan akar sama kuat;
2. kali dan bagi sama kuat;
3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .
Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

jawab :

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.

jawab :

Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
Contoh:
Selesaikan soal berikut!

Jawab :

B. NOTASI ILMIAH 

Notasi ilmiah memiliki syarat yaitu 0<a<10. Contohnya:a. 27000 = 2,7 x 10⁴b. 0,012 = 1,2 x 10^-²

Bab 2

 A. PERBANDINGAN BERTINGKAT
Perbandingan adalah pembagian antara dua satuan yang samaPerbandingan ada dua, yaitu:a. Perbandingan Senilai    adalah nilai dari dua perbandingan atau lebih yang memiliki harga yang sama.Dengan rumus: a/c = b/d

Besaran I	Besaran II
a	b
c	d

 

b. Perbandingan Berbalik Nilai    adalah perbandingan berbalik nilai atau berbalik harga bila besaran yang pertama nilainya semakin kecil maka besaran yang kedua nilainya semakin besar, atau sebaliknya.Dengan rumus: a/c = d/b

 

Besaran I	Besaran II
a	b
c	d

B. PERSENTASE adalah suatu angka yang dinyatakan dalam bentuk pecahan per seratus. 

Persentase = nilai perbandingan x 100% = a/b x 100% 

a. Persentase Untung dan Rugi    

Persentase untung dari harga beli = keuntungan/harga beli x 100% 

atau %U = (J-B)/B x 100%   

Persentase rugi dari harga beli = kerugian/harga beli x 100%

 atau %R = (B-J)/B x 100% 

b. Harga Jual dan Harga Beli   

 HJ = HB + (HB.U)/100 atau HJ = HB - (HB.R)/100   

 HB = 100HJ/(100+U) atau HB = 100HJ/(100-R) 

c. Masalah persentase kenaikan dan penurunan nilai   

 Langkah-langkah menghitung persentase kenaikan nilai:    

1) Ketahui nilai semula (nilai referensi) sebelum kenaikan    

2) Ketahui nilai kenaikan    

3) Hitung perbandingan nilai kenaikan terhadap nilai semula    

4) Kalikan hasil langkah 3 dengan angka 100%    

Langkah-langkah menghitung persentase penurunan nilai:    

1) Ketahui nilai semula (nilai referensi) sebelum penurunan    

2) Ketahui nilai penurunan    

3) Hitung perbandingan nilai penurunan terhadap nilai semula    

4) Kalikan hasil langkah 3 dengan angka 100% 

d. Masalah Tabungan    

B=(HxPxM)/360x100   

 H = banyak hari menabung          P = persentase bunga          M = modal tabungan. 

Masalah Koperasi    

B=(HxPxM)/360x100    

B = besarnya bunga pinjaman          H = banyaknya hari          P = persentase          

M = banyaknya pinjaman. 

Masalah Bunga Tunggal   

BT=(Mxbxn)/100   M=(100xBT)/(bxn)   b=(100xBT)/(Mxn)   n=(100xBT)/(Mxn)

Bab 3

A. POLA
Jenis-jenis pola:
1) Pola Persegi (1, 4, 9 16, ...) 　Dengan rumus: Un = n²
2) Pola Persegi Panjang (2, 6, 12, 20, ...)
　Dengan rumus: Un = n² + n
3) Pola Segitiga (1, 3, 6, 10, ...)
　Dengan rumus: Un = (n(n+1))/2
4) Pola Segitiga Pascal (1, 2, 4, 8, ...)
　Dengan rumus: Un = 2^n-1

B. BARISAN DAN DERET
Barisan = suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu
Cth: 1, 4, 7, 10, 13, 16
Deret = jumlah dari bilangan dari suatu baris
Cth: 1+5+9+13+17+21

C. BARISAN ARITMATIKA
Un = a + (n - 1) b
Sn = (1/2).n (2a + (n-1) b)
Ut = (a + Un)/2
b1 = b/(k+1)

Pola Bilangan Segitiga Pascal

D. BARISAN GEOMETRI
Un = ar^n-1
Sn = a.(rⁿ-1)/r-1

Ut = a.Un
r1 = ^k+1U_n/U_n-1